久期
衡量债券价格对利率变动敏感度的指标
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- 并列概念: risk-premium 易混淆概念: 到期期限、凸度
- 关系笔记: yield-curve-and-bond-pricing
久期
一句话定义
久期是衡量债券价格对利率变动敏感度的指标——久期越长，利率每变动 1%，债券价格变动越大。
核心机制 / 工作原理
为什么需要久期？
假设你持有一只债券，市场利率上升了 1%，你的债券价格会跌多少？
直觉上，你可能会说”看债券还剩几年到期”。但这不够准确。两只同样 10 年到期的债券，如果一只每年付息 5%，另一只每年付息 1%，它们对利率变动的敏感度是不同的——因为付息 5% 的债券更快地把钱还给你了。
久期就是为了解决这个问题而发明的。它综合考虑了到期时间和付息方式，给出一个”等效的”时间概念。
久期的三种含义
在金融中，“久期”这个词至少有三种不同的含义，这是很多人困惑的来源：
| 久期类型 | 英文名 | 含义 | 用途 |
|---|---|---|---|
| 麦考利久期 (Macaulay Duration) | Macaulay Duration | 加权平均的收回现金流的时间 | 理论概念，理解久期本质 |
| 修正久期 (Modified Duration) | Modified Duration | 利率变动 1%时债券价格变动的百分比 | 实际应用，衡量利率风险 |
| 有效久期 (Effective Duration) | Effective Duration | 考虑嵌入期权后的利率敏感度 | 含期权的债券（如可赎回债） |
麦考利久期 (Macaulay Duration)
麦考利久期是久期最原始的定义，它回答的是一个问题：平均来说，你多久能收回债券的现金流？
公式：
Macaulay Duration = Σ [t × PV(CFt)] / Σ [PV(CFt)] = Σ [t × PV(CFt)] / 债券价格
其中：
t = 第 t 期的现金流发生时间
PV(CFt) = 第 t 期现金流的现值通俗理解：假设一只债券分别在第 1、2、3 年支付 30 元、30 元、1030 元。这些现金流的现值分别是多少？然后按现值大小加权平均，得到的”平均年份”就是麦考利久期。
计算示例：
假设有一只面值 100 元、票面利率 5%、3 年到期、市场利率 5% 的债券：
| 年份 (t) | 现金流 | 折现因子 (5%) | 现值 PV(CFt) | t × PV(CFt) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 元 | 0.9524 | 4.762 | 4.762 |
| 2 | 5 元 | 0.9070 | 4.535 | 9.070 |
| 3 | 105 元 | 0.8638 | 90.703 | 272.108 |
| 合计 | 100.000 | 285.940 |
麦考利久期 = 285.940 / 100.000 = 2.859 年
虽然这只债券 3 年后才到期，但久期只有 2.859 年——因为你在第 1、2 年已经收到了部分现金流（利息），这些早期现金流降低了加权平均时间。
修正久期 (Modified Duration)
修正久期是实际中最常用的指标，它直接告诉你：利率变动 1%，债券价格变动百分之几？
公式：
Modified Duration = Macaulay Duration / (1 + y/n)
其中：
y = 年到期收益率
n = 每年付息次数上例中：Modified Duration = 2.859 / (1 + 0.05/1) = 2.859 / 1.05 = 2.723
含义：如果市场利率上升 1%（从 5% 变到 6%），债券价格大约下跌 2.723%。
用更直白的方式表达：
债券价格变动 ≈ -Modified Duration × 利率变动
例：利率从 5% 升到 6%（变动 +1%）
价格变动 ≈ -2.723 × 1% = -2.723%
原价 100 元，新价 ≈ 97.28 元注意前面的负号：利率上升，债券价格下跌；利率下降，债券价格上涨。这是债券最基本的规律。
久期的关键性质
性质 1：零息债券的久期等于其到期期限
如果一只债券不付息（零息债券），你只在到期时一次性收到全部现金流，所以久期就等于到期时间。
- 3 年期零息债券 → 久期 = 3 年
- 10 年期零息债券 → 久期 = 10 年
性质 2：附息债券的久期短于到期期限
因为附息债券在到期前就开始支付利息，你”平均”收回资金的时间早于到期日。
| 债券 | 到期期限 | 票面利率 | 久期（近似） |
|---|---|---|---|
| 3 年期零息债 | 3 年 | 0% | 3.0 年 |
| 3 年期附息债 (5%) | 3 年 | 5% | 2.86 年 |
| 5 年期零息债 | 5 年 | 0% | 5.0 年 |
| 5 年期附息债 (5%) | 5 年 | 5% | 4.54 年 |
| 10 年期零息债 | 10 年 | 0% | 10.0 年 |
| 10 年期附息债 (5%) | 10 年 | 5% | 8.07 年 |
性质 3：票面利率越高，久期越短
高票息债券在早期支付更多利息，所以”平均”收回时间更短。
| 10 年期债券 | 票面利率 | 久期（近似） |
|---|---|---|
| 零息 | 0% | 10.0 年 |
| 低息 | 2% | 8.9 年 |
| 中息 | 5% | 8.1 年 |
| 高息 | 8% | 7.3 年 |
性质 4：市场利率越高，久期越短
利率越高，未来现金流的现值越低，近期现金流的权重相对增加，所以久期缩短。
久期的实际应用
应用 1：利率风险管理
投资者使用久期来衡量和管理利率风险。例如：
- 如果你预期利率将上升，应持有短久期债券（价格下跌幅度小）
- 如果你预期利率将下降，应持有长久期债券（价格上涨幅度大）
| 利率预期 | 策略 | 原因 |
|---|---|---|
| 利率上升 | 缩短久期 | 长久期债券价格跌得更多 |
| 利率下降 | 拉长久期 | 长久期债券价格涨得更多 |
| 利率不确定 | 中等久期 | 平衡涨跌风险 |
应用 2：久期匹配 (Duration Matching)
如果你未来有一笔负债需要支付（例如保险公司需要支付理赔金），你可以通过构建一个与负债久期相同的债券组合来对冲利率风险。
资产久期 = 负债久期
→ 利率变动时，资产价值的变动 = 负债价值的变动
→ 净资产不受利率变动影响这是保险公司和养老金管理的核心策略之一。
应用 3：免疫策略 (Immunization)
久期匹配是”免疫”策略的核心。通过使资产组合的久期等于负债的久期，可以”免疫”利率变动对净资产的影响。
一个简单的例子：
- 你 5 年后需要支付 100 万
- 你购买一组久期恰好为 5 年的债券
- 无论利率上升还是下降，你的债券组合在第 5 年的价值都能覆盖 100 万的负债
凸度：久期的局限与补充
久期有一个重要局限：它假设利率变动和价格变动之间是线性关系。但实际上，这个关系是非线性的（凸的）。
价格
│
│ ·····
│ ·· ·· ← 实际关系（凸曲线）
│ · / ← 久期近似（直线）
│· /
│· /
│/
└──────────── 利率- 当利率下降时，实际价格上涨的幅度比久期预测的更多
- 当利率上升时，实际价格下跌的幅度比久期预测的更少
这种”好消息比预测的更好，坏消息比预测的更轻”的特性叫做凸度 (convexity)。
凸度的计算比较复杂，但概念很简单：
| 久期 | 凸度 | |
|---|---|---|
| 衡量什么 | 价格对利率的一阶敏感度 | 价格对利率的二阶敏感度 |
| 几何意义 | 切线斜率 | 曲线弯曲程度 |
| 类比 | 速度 | 加速度 |
| 用途 | 估算小幅度利率变动的影响 | 提高大幅度利率变动的估算精度 |
对于小幅度的利率变动（如 0.25%），久期就足够准确了；但对于大幅度的变动（如 2%），需要加入凸度修正。
最小例子 / 最小场景
假设你有两种投资选择：
债券 A：1 年后到期，到期一次性还本付息 105 元。 债券 B：3 年后到期，每年付息 5 元，到期还本金 100 元。
两只债券的价格都是 100 元，票面利率都是 5%。
现在央行宣布加息，市场利率从 5% 升到 6%。
你的朋友问你：“哪只债券会跌更多？”
你可以用久期快速判断：
- 债券 A 是 1 年期零息债，久期 = 1 年。价格大约下跌 1%。
- 债券 B 是 3 年期附息债，久期约 2.86 年。价格大约下跌 2.86%。
债券 B 跌得更多——因为它的久期更长，对利率变动更敏感。
这就是久期的价值：它给你一个简单的数字，让你快速判断利率风险的大小。
边界与易混淆点
它不是什么
久期 ≠ 到期期限 (Maturity)。这是最常见的混淆。到期期限是债券到期日距离现在的时间，是一个固定的日期。久期是考虑了所有现金流的时间加权平均，通常短于到期期限（对于附息债券）。
| 对比 | 到期期限 | 久期 |
|---|---|---|
| 含义 | 最后一笔现金流的时间 | 所有现金流的加权平均时间 |
| 对附息债券 | 大于久期 | 小于到期期限 |
| 对零息债券 | 等于久期 | 等于到期期限 |
| 是否固定 | 固定（随着时间推移等速递减） | 会随利率变化而变化 |
久期 ≠ 凸度。久期衡量的是价格对利率的”线性”敏感度（一阶导数），凸度衡量的是这种关系的”弯曲程度”（二阶导数）。久期告诉你”斜率”，凸度告诉你”斜率在变化”。
主要局限
- 久期是近似值：久期只在利率小幅变动时给出准确的估算。利率变动越大，久期的近似误差越大（需要用凸度修正）。
- 久期假设利率平行移动：标准久期计算假设所有期限的利率同时变动相同的幅度。但实际上，短端利率和长端利率的变动幅度可能不同（收益率曲线非平行移动）。
- 久期会变化：随着利率变动、时间推移、债券临近到期，久期会不断变化。投资者需要定期重新计算和调整。
- 含期权债券的久期更复杂：对于可赎回债券等含期权的债券，利率变动会改变期权被行使的概率，需要使用有效久期而非修正久期。
常见误解
- 误解：“久期越长风险越大”。久期越长，利率风险越大，但利率风险只是债券投资的风险之一。信用风险、流动性风险等与久期关系不大。
- 误解：“久期是固定不变的”。久期会随着市场利率变化而变化。当利率下降时，债券久期通常会变长（因为未来现金流的现值权重增加）。
- 误解：“久期只对债券有意义”。久期的概念可以推广到任何产生现金流的资产。例如股票的”久期”概念可以帮助理解股票对折现率变动的敏感度（虽然实践中很少这样用）。
最短记忆方式
久期是”利率变动 1% 时债券价格变动百分之几”的快速估算工具——久期越长，利率风险越大，价格波动越剧烈。
参考资料
- Macaulay, F. R. (1938). Some Theoretical Problems Suggested by the Movements of Interest Rates, Bond Yields and Stock Prices in the United States since 1856. NBER.
- Fabozzi, F. J. Bond Markets, Analysis, and Strategies. Pearson. 关于久期和凸度的经典教材.
- Tuckman, B., & Serrat, A. Fixed Income Securities: Tools for Today’s Markets. Wiley. 关于久期在实践中的应用.